Задача 116091

Темы:    [ Свойства инверсии ] [ Построение окружностей ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.

Решение

Пусть даны прямая l и окружность S с центром O . Требуется построить образ прямой l при инверсии относительно окружности S .
Известно, что прямая, проходящая через центр инверсии, переходит сама в себя, а прямая, не проходящая через центр инверсии, — в окружность, проходящую через центр инверсии.
В первом из этих случаев образ прямой l — это сама прямая l .
Пусть прямая l не имеет с окружностью S общих точек (рис.1). Опустим перпендикуляр OP из центра инверсии на прямую l и проведём из точки P касательные к окружности S . Если A и B — точки касания, а P' — точка пересечения прямых AB и OP , то искомый образ прямой l — окружность с диаметром OP' .
Если прямая l касается окружности S , то образ прямой l при рассматриваемой инверсии — это окружность S .
Если прямая l пересекает окружность S в различных точках A и B (рис.1), но не проходит через её центр O , то строим точку C пересечения касательных к окружности S . Искомая окружность — это окружность с диаметром OC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6118