ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116080
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  AA1 и BB1 – высоты. На стороне AB выбраны точки M и K так, что  B1K || BC  и  MA1 || AC.  Докажите, что  ∠AA1K = ∠BB1M.


Решение

  Точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно,  ∠B = ∠A1B1C = ∠MA1B1.  Аналогично  ∠B = ∠AKB1.  Следовательно, четырёхугольник MKA1B1 – вписанный. Тогда  ∠KB1M = ∠KA1M.  Из параллельности прямых и равенства вписанных углов в четырёхугольнике ABA1B1 получим, что  ∠MA1A = ∠A1AB1 = ∠B1BA1 = ∠KB1B.  Следовательно,  ∠BB1M = ∠BB1K + ∠KB1M = ∠MA1A + ∠KA1M = ∠AA1K.

  В случае, когда точки M и K располагаются на стороне AB в другом порядке, решение аналогично, только искомые углы являются не суммой рассмотренных углов, а их разностью.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 07 (2009 год)
Дата 2009-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .