ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116079
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадрат и прямоугольник одинакового периметра имеют общий угол. Докажите, что точка пересечения диагоналей прямоугольника лежит на диагонали квадрата.


Решение

Первый способ. Пусть ABCD и AB1C1D1 – данные квадрат и прямоугольник (см. рис. а). Заметим, что достаточно будет доказать, что точка O – середина отрезка B1D1 равноудалена от прямых AB и BC. Из условия следует, что AB1 + AD1 = AB + AD , то есть BB1 = DD1. Пусть O и OK – перпендикуляры, опущенные на стороны AB и BC соответственно.

Рис. аРис. б

Тогда OM = 1/2AD1, как средняя линия треугольника AB1D1, а OK = 1/2AB1BB1. Учитывая, что BB1 = DD1 и AD = AB, получим: OK= 1/2AB1BB1 = 1/2(AB + BB1) – BB1 = 1/2AD1. То есть O лежит на диагонали BD квадрата ABCD.

Второй способ. Выберем декартову систему координат так, чтобы общая вершина A квадрата ABCD и прямоугольника AB1C1D1 была началом координат, а обе фигуры лежали в I координатной четверти (см. рис. б). Тогда B1(0; b ), C1(a; b), D1(a; 0). Точка O пересечения диагоналей прямоугольника имеет координаты . Прямая BD задается уравнением X + Y = C. По условию 2(a + b) = 4c, где c – сторона квадрата, то есть . Следовательно, прямая BD содержит точку O.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 07 (2009 год)
Дата 2009-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .