ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116073
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Перпендикуляр, опущенный из вершины C на биссектрису угла ABD, пересекает прямую AB в точке C1; перпендикуляр, опущенный из вершины B на биссектрису угла ACD, пересекает прямую CD в точке B1. Докажите, что  B1C1 || AD.


Решение

Пусть точки C1 и B1 лежат на сторонах AB и CD соответственно (см. рис.). Так как  ∠BC1C = 90° – ½ ∠ABD = 90° – ½ ∠ACD = ∠BB1C,

то точки B, C, B1 и C1 лежат на одной окружности. Значит,  ∠B1C1A = ∠BCB1,  следовательно,  ∠B1C1A + ∠BAD = 180°,  то есть AD || B1C1.

  Aналогично рассматривается случай, когда обе точки лежат на продолжении соответствующих сторон.
  B случае, когда одна из точек B1 и C1 лежит на стороне, а другая на продолжении,  ∠BC1C + ∠BB1C = 180°,  что также означает принадлежность этих точек одной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 08 (2010 год)
Дата 2010-04-11
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .