ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116069
Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. H – точка пересечения высот. На сторонах AB и BC выбраны точки M и K и соответственно так, что ∠KMH = 90°. Докажите, что из отрезков AK, CM и MK можно сложить прямоугольный треугольник.


Решение

Первый способ. Заметим, что достаточно доказать равенство MK2 = AK2CM2 (см. рис.). Учитывая условие MK2 = KH2MH2, докажем, что KH2MH2 = AK2CM2. Но последнее равенство равносильно равенству CM2MH2 = AK2KH2. Используя, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций, получим, что CM2 MH2 = CN2HN2, а AK2KH2 = AL2HL2, где N и L – основания высот проведенных из точек C и A соответственно. Так как треугольник ABC – равнобедренный, то AL = CN и HL = HN, откуда следует искомое равенство.

Bторой способ. Рассмотрим векторы . Тогда, учитывая равенства и , получим, что . Теперь достаточно доказать, что .

Действительно, так как и , то .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 08 (2010 год)
Дата 2010-04-11
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .