ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116069
УсловиеДан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. H – точка пересечения высот. На сторонах AB и BC выбраны точки M и K и соответственно так, что ∠KMH = 90°. Докажите, что из отрезков AK, CM и MK можно сложить прямоугольный треугольник. РешениеПервый способ. Заметим, что достаточно доказать равенство MK2 = AK2 – CM2 (см. рис.). Учитывая условие MK2 = KH2 – MH2, докажем, что KH2 – MH2 = AK2 – CM2. Но последнее равенство равносильно равенству CM2 – MH2 = AK2 – KH2. Используя, что разность квадратов наклонных равна разности квадратов их проекций, получим, что CM2 – MH2 = CN2 – HN2, а AK2 – KH2 = AL2 – HL2, где N и L – основания высот проведенных из точек C и A соответственно. Так как треугольник ABC – равнобедренный, то AL = CN и HL = HN, откуда следует искомое равенство. Bторой способ. Рассмотрим векторы . Тогда, учитывая равенства и , получим, что . Теперь достаточно доказать, что . Действительно, так как и , то . Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|