ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116068
Тема:    [ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности w1 и w2 пересекаются в точках A и B. К ним через точку A проводятся касательные l1 и l2 (соответственно). Перпендикуляры, опущенные из точки B на l2 и l1, вторично пересекают окружности w1 и w2 соответственно в точках K и N. Докажите, что точки K, A и N лежат на одной прямой.


Решение

Пусть M и L – основания перпендикуляров, опущенных из точки B (см. рис.). Тогда, воспользовавшись свойством угла между касательной и хордой, получим, что ∠MAB = ∠ANB, а ∠LAB = ∠AKB. Учитывая, что ∠MAK = 90° – ∠AKB, а ∠NAL = 90° – ∠ANB, получим, что ∠KAN = ∠KAM + ∠BAM + ∠BAL + ∠NAL = 180°, то есть точки K, A и N лежат на одной прямой.

Cлучай, когда точки K и N лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB, рассматривается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 08 (2010 год)
Дата 2010-04-11
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .