Задача 115984

Тема:    [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Шаповалов А.В.

Числа 1, 2, ..., 100 стоят по кругу в некотором порядке.
Может ли случиться, что у любых двух соседних чисел модуль разности не меньше 30, но не больше 50?

Решение

Предположим, условия выполнены. Назовём числа от 26 до 75 средними, а остальные – крайними. Два крайних числа подряд идти не могут (модуль их разности меньше 25 или больше 50). Но крайние числа составляют ровно половину общего количества чисел. Поэтому средние и крайние числа должны чередоваться. Но рядом со средним числом 26 может стоять только одно крайнее число – 76. Противоречие.

Ответ

Не может.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2012/13
Номер	34
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	4