ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115950
Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Двадцать детей – десять мальчиков и десять девочек – встали в ряд. Каждый мальчик сказал, сколько детей стоит справа от него, а каждая девочка – сколько детей стоит слева от неё. Докажите, что сумма чисел, названных мальчиками, равна сумме чисел, названных девочками.


Решение 1

Мальчик, стоящий на k-м месте слева назовёт число  20 – k,  поэтому сумма чисел, названных мальчиками, равна  200 – Sm,  где Sm – сумма их мест. Девочка, стоящая на n-м месте слева назовет число  n – 1,  поэтому сумма чисел, названных девочками, равна  Sd – 10,  где Sd – сумма мест девочек. Осталось проверить, что  200 – Sm = Sd – 10.  Но это действительно так, поскольку  Sm + Sd = 1 + 2 + ... + 20 = 210.


Решение 2

Поменяем местами соседних мальчика и девочку. При этом указанные суммы одновременно либо увеличатся на 1, либо уменьшатся на 1. Действуя таким образом, мы можем получить любую расстановку детей. А в каждой расстановке, где мальчики стоят симметрично девочкам относительно центра, равенство указанных сумм очевидно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2012/13
Номер 34
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .