Задача 115945

Темы:    [ Расстояние между скрещивающимися прямыми ] [ Ортогональное проектирование ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Медиана пирамиды (тетраэдра) ] [ Высота пирамиды (тетраэдра) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите что в равногранном тетраэдре основания высот, середины высот и точки пересечения высот граней лежат на одной сфере (сфера 12-ти точек}.

Решение

Рассмотрим равногранный тетраэдр ABCD . Пусть O1 — ортогональная проекция центра O описанной сферы на плоскость ABC , DD1 — высота тетраэдра, M1 — точка пересечения медиан треугольника ABC , H1 — точка пересечения высот треугольника ABC . Тогда O1 — центр описанной окружности треугольника ABC
Точки O1 , M1 и H1 лежат на одной прямой — прямой Эйлера треугольника ABC . При этом точка M1 лежит между O1 и H1 и M1H1=2M1O1 .
Поскольку тетраэдр равногранный, центр O его описанной сферы совпадает с точкой M пересечения медиан, значит, точка O1 лежит на проекции медианы DM1 тетраэдра на плоскость ABC , т.е. на прямой D1M1 . Но точки O1 и M1 лежат на прямой Эйлера треугольника ABC , значит, на этой прямой лежит и точка D1 .
Обозначим M1O1=t . Тогда

M1H1=2t, O1D1=3O1M1=3t, O1H1=M1O1+M1H1=t+2t=3t=O1D1,
следовательно, M1 — середина стороны D1H1 треугольника OD1H1 , а т.к. OO1 — высота этого треугольника и OO1=DD1= , где h — высота тетраэдра, то
OD1=OH1== .

Пусть K — середина высоты DD1 , P — проекция точки O на прямую DD1 . Тогда
PD1=OO1=, KP=KD1-PD1=-= , OP=O1D1=3t.
Из прямоугольного треугольника OPK находим, что
OK = = .
Таким образом, точки D1 , H1 и K удалены от точки O на одно и то же расстояние , следовательно, они лежат на сфере с центром O и радиусом .
Поскольку все высоты равногранного тетраэдра равны и все его грани равны, то расстояния от точки O до остальных девяти из указанных в условии точек также равны . Отсюда следует утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7318