Задача 115942

Темы:    [ Площадь и объем (задачи на экстремум) ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Прямоугольные параллелепипеды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Как расположить в пространстве спичечный коробок, чтобы его проекция на плоскость имела наибольшую площадь?

Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Его проекция на любую плоскость — выпуклый шестиугольник BCDD1A1B1 (возможно, вырождающийся в четырёхугольник), состоящий из трёх параллелограммов ABCD , ADD1A1 и ABB1A1 . Отрезки BD , DA1 и A1B разбивают каждый из этих параллелогрммов на два равных треугольника, поэтому S_BCDD1A1B1=2S_{Δ BDA}1 .
Треугольник BDA1 — ортогональная проекция треугольника, стороны которого — диагонали граней параллелепипеда, а т.к. площадь ортогональной проекции треугольника равна площади проектируемого треугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью треугольника и плоскостью проекций, то площадь проекции не больше площади самого треугольника, причём равенство достигается в случае, когда косинус угла равен 1, т.е. когда плоскость проекция параллельна плоскости треугольника.
Следовательно, в нашем случае проекция имеет наибольшую площадь, если плоскость проекция параллельна плоскости треугольника BDA1 . Тогда эта наибольшая площадь равна удвоенной площади треугольника BDA1 .

Ответ

Коробок-параллелепипед должен располагаться так, чтобы плоскость, проходящая через вторые концы трёх его рёбер, исходящих из одной вершины, была горизонтальна.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7315