Задача 115925

Темы:    [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC известно, что  AB = c,  BC = a,  ∠B = 120°.  Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин A и C.

Решение

  Пусть AM и CN – высоты треугольника ABC. Поскольку угол ABC тупой, точки M и N лежат на продолжениях сторон BC и AB.
  Треугольник MBN подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия  cos 60° = ½.  Следовательно,
MN² = ¼ AC² = ¼ (AB² + BC² – AB·BC cos 120°) = ¼ (a² + c² + ac).

Ответ

½ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3391