Задача 115918

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Окружность, вписанная в угол ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Окружность, вписанная в угол с вершиной O, касается его сторон в точках A и B. Луч OX пересекает эту окружность в точках C и D, причём
OC = CD = 1.  Если M – точка пересечения луча OX и отрезка AB, то чему равна длина отрезка OM?

Решение

  Первый способ. Из теоремы об угле между касательной хордой следует, что  ∠OBC = ∠BDO,  значит, треугольники OBC и ODB подобны по двум углам, поэтому  OB : OD = OC : OB,  откуда  OB² = OC·OD = 2,  BC : BD = OB : OD =    : 2.
  Аналогично  AC : AD =    : 2.
  Треугольники CMB и AMD подобны по двум углам, поэтому  CM : AM = BC : AD.  Аналогично  AM : MD = AC : BD.
  Перемножая два последние равенства, получим, что     значит,  CM = ⅓.  Следовательно,
OM = ⁴/₃.

  Второй способ. По теореме о касательной и секущей  OB² = OC·OD = 2.
  Пусть P – проекция центра Q окружности на хорду CD, N – точка пересечения OQ и AB. Прямоугольные треугольники ONM и OPQ подобны, поэтому
OM : OQ = ON : OP.  Отрезок BN – высота прямоугольного треугольника OBQ, опущенная на гипотенузу, поэтому  OB² = OQ·ON,  следовательно,  

Ответ

⁴/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2590