Задача 115913

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Внутри квадрата ABCD взята точка E. Пусть ET – высота треугольника ABE, K – точка пересечения прямых DT и AE, M – точка пересечения прямых CT и BE. Докажите, что отрезок KM – сторона квадрата, вписанного в треугольник ABE.

Решение

  Обозначим  AB = a,  ET = h.  Треугольники EKT и AKD подобны, треугольники EMT и BMC также подобны, причём с тем же коэффициентом подобия  ^h/_a, поэтому  EM : BM = ET : BC.  Значит,  KM || AB.  Следовательно, треугольники EKM и EAB подобны с коэффициентом подобия  ^EK/_KA = ^h/_a+h,  а
KM = AB·^h/_a+h = ^ah/_a+h.
  Согласно решению задачи 111528 это число равно стороне квадрата, вписанного в треугольник ABE.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2284