|
|
 |
Условие
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Решение 1
Пусть a, b – длины двух сторон треугольника, x, y – длины отрезков, на которые высота делит третью сторону (если основание высоты лежит вне стороны, длину одного из отрезков считаем отрицательной). Тогда по теореме Пифагора x² – y² = a² – b². С другой стороны, точка касания вписанной окружности делит сторону на отрезки p – a и p – b. Поэтому условие задачи равносильно равенству x – y = 2(a – b). Разделив первое равенство на второе, получим, что длина третьей стороны равна x + y = ½ (a + b) = 2p/3.
Решение 2
Пусть c – длина искомой стороны, тогда r : rc = (p – c) : p. Пусть K и P – точки касания с этой стороной вписанной и вневписанной окружностей соответственно, I и Q – центры этих окружностей. При гомотетии с центром C точка P переходит в точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке K. Поэтому середина высоты CH лежит на прямой IP. Из подобия двух пар треугольников получим, что r = h/3, rc = h (см. рис.). Подставив в первое равенство, получим требуемое.
