Задача 115882
|
|
 |
Условие
Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями.
Докажите, что трапеция равнобокая.
Решение
Пусть KLMN – четырёхугольник, образованный биссектрисами (см. рис.). Так как AK и BK – биссектрисы смежных углов трапеции, то ∠LKN = 90°. Аналогично ∠LMN = 90°. Следовательно, LK² + KN² = LM² + MN². С другой стороны, из перпендикулярности диагоналей получаем, что
KL² + MN² = KN² + LM². Из этих двух равенств следует, что KL = LM и MN = NK, а значит, ∠NKM = ∠NMK. Но точки K, M, как точки пересечения биссектрис смежных углов, равноудалены от оснований трапеции, то есть KM || AD. Поэтому ∠CAD = BDA, и трапеция равнобокая.
