Задача 115765

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Френкин Б.Р.

Треугольник разрезан на несколько (не менее двух) треугольников. Один из них равнобедренный (не равносторонний), а остальные – равносторонние. Найдите углы исходного треугольника.

Решение

Среди вершин неравностороннего треугольника по крайней мере одна не является вершиной исходного треугольника. Сумма углов треугольников разбиения, сходящихся в этой вершине, равна 180° или 360°. Следовательно, угол треугольника кратен 60°, и так как треугольник не равносторонний, этот угол равен 120°. Тогда два других угла этого треугольника равны 30° и, так как они не кратны 60°, соответствующие вершины находятся в вершинах исходного треугольника. Углы треугольника в этих вершинах могут равняться только 30°, 90° или 150°, при этом хотя бы один из двух углов не равен 30°, а их сумма меньше 180°. Единственный возможный вариант – 30° и 90°. Такой треугольник требуемым образом разрезать можно, например, проведя медиану из вершины прямого угла (см. рис.).

Ответ

30°, 60°, 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2007
тур
задача
Номер	1