ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115713
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Существуют ли такие натуральные x и y, что  x4y4 = x³ + y³?


Решение 1

После деления на  x + y  получаем  (x – y)(x² + y²) = x² – xy + y².  Но левая часть не меньше  x² + y²  (из условия видно, что  x > y ),  а правая меньше.


Решение 2

Запишем уравнение в виде  x³(x – 1) = y³(y + 1).  В случае  x ≤ y  правая часть больше левой, в случае  x ≥ y + 2  левая часть больше правой. В оставшемся случае  (x = y + 1)  получаем  (y + 1)³y = y³(y + 1),  то есть  (y + 1)² = y²,  что также невозможно.


Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2010
задача
Номер 7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .