Задача 115713

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Условие

Существуют ли такие натуральные x и y, что  x⁴ – y⁴ = x³ + y³?

Решение 1

После деления на  x + y  получаем  (x – y)(x² + y²) = x² – xy + y².  Но левая часть не меньше  x² + y²  (из условия видно, что  x > y ),  а правая меньше.

Решение 2

Запишем уравнение в виде  x³(x – 1) = y³(y + 1).  В случае  x ≤ y  правая часть больше левой, в случае  x ≥ y + 2  левая часть больше правой. В оставшемся случае  (x = y + 1)  получаем  (y + 1)³y = y³(y + 1),  то есть  (y + 1)² = y²,  что также невозможно.

Ответ

Не существуют.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	2010
задача
Номер	7