ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115712
Тема:    [ Взвешивания ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Было 8 грузиков массами 1 , 2 .. 8  г. Один из них потерялся, а остальные выложили в ряд по возрастанию массы. Есть весы с лампочкой, при помощи которых можно проверить, имеют ли две группы грузиков одинаковую массу. Как за 3  проверки определить, какой именно грузик потерялся?

Решение

Одна из возможных последовательностей взвешиваний приведена на схеме. В прямоугольниках указаны оставшиеся к данному моменту варианты для массы потеряной гирьки, в ромбах — взвешивания. В описании взвешиваний используются номера оставшихся грузиков — от 1 до 7.
Заметим, что если потерян грузик массой  n  г, то гирьки c номерами, меньшими  n , весят столько грамм, каков их номер, а грузики с номером  n и больше весят на 1 г больше, чем их номер.
Теперь нетрудно проверить приведенную схему. Ограничимся такой проверкой для первого взвешивания. Имеется 4 случая: если потерянный грузик был тяжелее 5 г, то весы останутся в равновесии ( 2+3=5 ); если был потерян грузик массой 4 г или 5 г, то равновесия не будет ( 2+3(5+1) ); если потерян грузик массой 3 г, то равновесие снова будет ( 2+(3+1)=(5+1) ); наконец, если потерян грузик массой 1 г или 2 г, то равновесия снова не будет ( (2+1)+(3+1)(5+1) ).

Комментарии:
1. Придумать правильную последовательность взвешиваний может помочь следующее соображение. Изначально для потерянного грузика имеется 8  вариантов, и  3  взвешивания могут иметь как раз 23=8  исходов. Значит, каждое взвешивание должно сужать количество вариантов для потерянной гирьки вдвое. (В самом деле, пусть, например, один из исходов первого взвешивания возможен не в  4 , а в  5 случаях. Тогда за оставшиеся 2  взвешивания нужно выбрать один грузик из 5 , а эти взвешивания могут иметь только 22=4 различных исхода.)
2. Существуют и ``неинтерактивные'' решения — в которых следующие взвешивания не зависят от результатов предыдущих, а определены заранее. Например, 2+4?=6 , 1+2+4+7?=3+5+6 , 1+5+6?=2+3+7 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2010
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .