Задача 115681

Темы:    [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

BB1 и CC1 — высоты остроугольного треугольника ABC с углом A , равным 30^o ; B2 и C2 — середины сторон AC и AB соответственно. Докажите, что отрезки B1C2 и B2C1 перпендикулярны.

Решение

В прямоугольном треугольнике ABB1 катет BB1 лежит против угла в 30^o , значит, BB1= AB = BC2 , поэтому треугольник BB1C2 — равнобедренный, а т.к. B1BC2=90^o-30^o= 60^o , то он равносторонний. Аналогично, треугольник СC1B2 — равносторонний.
Пусть отрезки B1C2 и B2C1 пересекаются в точке O . В четырёхугольнике AB2OC2 известно, что

B2AC2=30^o, AB2O=180^o- CB2C1 = 180^o-60^o=120^o, AC2O = 180^o- BC2B1=120^o,
следовательно,
B2OC2 = 360^o-30^o-120^o- 120^o = 90^o.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2572