Задача 115659

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Серединные перпендикуляры к сторонам BC и AC остроугольного треугольника ABC пересекают прямые AC и BC в точках M и N . Пусть точка C движется по описанной окружности треугольника ABC , оставаясь в одной полуплоскости относительно AB (при этом точки A и B неподвижны). Докажите, что прямая MN касается фиксированной окружности.

Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC . Поскольку точка C расположена на этой окружности, оставаясь в одной полуплоскости относительно AB , то угол ACB фиксирован. Обозначим его γ . Тогда

AOB = 2γ, OAB = OBA = 90^o-γ.
По теореме о внешнем угле треугольника BNO = 90^o+γ , поэтому
OAB + BNO = (90^o-γ)+(90^o+γ)= 180^o,
значит, точки A , O , N и B лежат на одной окружности, т.е. точка N лежит на окружности ω , проходящей через фиксированные точки A , B и O . Аналогично докажем, что на этой окружности лежит и точка M .
По теореме о внешнем угле треугольника
MON = 90^o+ AMO = 90^o+(90^o-γ) = 180^o-γ,
т.е. все хорды MN фиксированной окружности ω видны из фиксированной точки O под одним и тем же углом, значит, все эти хорды равны и поэтому равноудалены от центра окружности ω . Следовательно, все они касаются окружности ω' , концентрической окружности ω . Что и требовалось доказать.
Указание. Если P — центр окружности ω , а OQ — её диаметр, то OAQ = OBQ = 90^o , поэтому QA и QB — касательные к описанной окружности треугольника ABC , т.е. касательные к описанной окружности треугольника ABC , проведённые в точках A и B , пересекаются на окружности ω .
Кроме того, из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что BAQ = ACB = γ , значит, QA=QB=MN , поэтому QA и QB также касаются окружности ω' . Пусть E — точка касания QA и ω' . Тогда PE — средняя линия треугольника QAO . Следовательно, радиус окружности ω' вдвое меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6627