Задача 115643

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол A равен 60^o . Пусть BB1 и CC1 — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой B1C1 , лежит на стороне BC .

Решение

Пусть I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC , а прямая, проходящая через вершину A перпендикулярно B1C1 , пересекает прямые B1C1 и BC в точках K и M соответственно. Обозначим через β и γ углы при вершинах соответственно B и C треугольника ABC . Тогда

β +γ = 120^o, + = 60^o, B1IC1 = BIC = 90^o+ BAC = 90^o+30^o= 120^o,
значит, четырёхугольник AB1IC1 — вписанный, а т.к. I — точка пересечения биссектрис треугольника ABC , то AI — биссектриса угла B1AC1 . Следовательно,
IB1=IC1, IC1B1= IB1C1=30^o.
По теореме о внешнем угле треугольника
AC1B1= ABB1+ IB1C1= +30^o,
поэтому
C1AM= BAM = C1AK = 90^o- AC1B1= 90^o-(+30^o)= 60^o-== MCC1.
Из точек A и C , лежащих по одну сторону от прямой MC1 , отрезок MC1 виден под одним и тем же углом , значит, точки A , C , M и C1 лежат на одной окружности, а т.к. CC1 — биссектриса вписанного угла ACM , то C1A=C1M , поэтому треугольник AC1M — равнобедренный. Его высота C1K является медианой, следовательно, точка M симметрична точке A относительно прямой B1C1 . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6611