Задача 115613

Темы:    [ Неравенства для элементов треугольника. ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что биссектриса, проведённая к наибольшей стороне треугольника, не превосходит высоту, опущенную на наименьшую сторону треугольника.

Решение

Пусть BC AC AB — стороны треугольника ABC , AH — высота, опущенная на наименьшую сторону BC , CL —биссектриса, проведённая к наибольшей стороне AB .
Предположим, что BC<AC . На луче CB отложим отрезок CA1 , равный AC . Тогда точка B окажется между C и A1 . Поскольку AC — не наибольшая сторона треугольника ABC , лежащий против неё угол ABC — острый, значит, смежный с ним угол ABA1 треугольника ABA1 — тупой. Поэтому AA1>AB AC = CA1 .
В треугольнике ACA1 высота AH , проведённая к стороне CA1 , больше высоты CM , проведённой к большей стороне AA1 , а т.к. высота равнобедренного треугольника ACA1 является его биссектрисой, то точка L лежит на луче CM , причём она расположена между C и M . Следовательно, AH>CM>CL . Что и требовалось доказать.
Если BC=AC , треугольник ABC — равнобедренный, его биссектриса CL является высотой, причём эта высота опущена на наибольшую сторону. Поэтому CL AH .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3363