Задача 115599

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

С центром в точке B проведена окружность, касающаяся стороны AC треугольника ABC. Из вершин A и C проведены к этой окружности касательные AM и CP, отличные от AC (M и P – точки касания). Прямая MP пересекает прямую AB в точке E, а прямую BC в точке H. Докажите, что AH и CE – высоты треугольника ABC.

Решение

  Пусть окружность касается стороны AC в точке F. Обозначим  ∠A = α,  ∠B = β.  Прямоугольные треугольники AMB и AFB равны по катету и гипотенузе, поэтому  ∠ABM = ∠ABF.  Аналогично  ∠CBP = ∠CBF,  значит,  ∠MBP = 2(∠ABF + ∠CBF) = 2∠B = 2β.

  Из равнобедренного треугольника MBP находим, что  ∠BMP = 90° – β,  значит,  ∠AME = ∠AMB – ∠BMP = β,  а так как  MAE = ∠FAE = α,  то треугольник AME подобен треугольнику ABC по двум углам, поэтому  ^AE/_AC = ^AM/_AB = cos α.
  Поскольку  AE = AC cos α,  то CE – высота треугольника ABC. Аналогично AH – высота.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3349