Задача 115595

Темы:    [ Неравенства с медианами ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм.

Решение

Пусть K , L , M , N — середины сторон соответственно AB , BC , CD , AD четырёхугольника ABCD .
Предположим, что прямые BC и AD не параллельны. Пусть C1 и D1 — вершины параллелограммов KBCC1 и AKD1D . Тогда

CC1=BK=AK=DD1, CM=MD, MCC1= MDD1,
значит, треугольники MCC1 и MDD1 равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому CMC1= DMD1 . Следовательно, точки C1MD1 лежат на одной прямой, a KM — медиана треугольника C1KD1 . Тогда
KM<(KC1+KD1) =(BC+AD).
Аналогично LN<(AB+CD) , поэтому
KM+LN< (BC+AD)+(AB+CD)= (BC+AD+AB+CD),
что противоречит условию задачи. Следовательно, BC || AD и AB || CD , т.е. четырёхугольник ABCD — параллелограмм.


Так как
=(+), =(+),
то
+= (++ +).
По условию задачи KM+NL=(BC+AD+AB+DC) , а это возможно только в случае, когда вектор коллинеарен вектору и вектор коллинеарен вектору . Следовательно, BC || AD и AB || CD , т.е. четырёхугольник ABCD — параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3345