Задача 115587

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Площадь трапеции ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Условие

Площадь трапеции ABCD равна 405. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N. Найдите площадь треугольника MON, если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Решение

  Пусть  AD = 2BC  (рис. слева). Тогда  S_ACD : S_BAC = 2 : 1,  то есть  S_ACD = ⅔ S_ABCD = 270,  S_AОD = ⅔ SACD = 180.
  Четырёхугольники ABCP и BCDP – параллелограммы, поэтому M и N – середины BP и CP.   Так как  OA : OC = 2 : 1,  то  OM : OA = 1 : 4.  Аналогично  ON : OD = 1 : 4.
  Значит, треугольники MON и AOD подобны с коэффициентом ¼. Следовательно,  S_MON = ¹/₁₆ S_AOD = ⁴⁵/₄.

  В случае, когда  BC = 2AD   (рис. справа),  S_ACD = ⅓ S_ABCD = 135,  S_AОD = ⅓ S_ACD = 45.
  Треугольник AMP – треугольнику CMB с коэффициентом ¼. Значит,  AM = ⅕ AC = ⅗ AO,  то есть  OM : OA = 2 : 5.  Аналогично  ON : OD = 2 : 5.  Следовательно,  S_MON = ⁴/₂₅ S_AOD = ³⁶/₅.

Ответ

⁴⁵/₄ или ³⁶/₅.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3328