ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115562
Темы:    [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром O , вписанная в треугольник ABC , касается его сторон AB и AC в точках M и N . Окружность с центром Q вписана в треугольник AMN . Найдите OQ , если AB=13 , BC=15 и AC=14 .

Решение

Пусть r — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , p — полупериметр треугольника ABC . Тогда

p===21.

По формуле Герона
SΔ ABC== = 84,

значит,
r===4.


Докажем что центр Q окружности, вписанной в треугольник AMN , лежит на вписанной окружности треугольника ABC . Действительно, пусть Q' — середина меньшей дуги MN вписанной окружности треугольника ABC . Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
AMQ'= MNQ'= NMQ',

поэтому MQ' — биссектриса угла AMN . Аналогично, NQ' — биссектриса угла ANM , значит, Q' — точка пересечения биссектрис треугольника AMN , т.е. центр вписанной окружности этого треугольника. Таким образом, точка Q' совпадает с точкой Q .
Следовательно, OQ=r=4 .

Ответ

4.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3336

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .