|
|
 |
Условие
Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?
Решение
Первый способ. При sin t > 0 и s ≠ 0 выполнены тождества Подставляя в эти тождества t = arcctg 2,
получаем:
Аналогично и через 2010² – 2² повторений этой операции мы из числа 2 получим число
Итак, или, короче,
Второй способ.
Ответ
Можно.
Замечания
1. Второй способ получается из первого, если поменять местами синус с косинусом, а тангенс с котангенсом.
2. Прошедшая в 1935 году московская олимпиада школьников по математике
была первой не только в нашей стране. Она вызвала большое обсуждение
педагогической и научной общественности в разных странах. На вторую
олимпиаду предложил свою задачу известный английский физик-теоретик,
лауреат Нобелевской премии по физике 1933 года Поль Дирак. Задача формулировалась так:
Представить произвольное натуральное число в виде выражения, в запись которого входят только три двойки и произвольные математические знаки.
Решение просто и элегантно:
Автор настоящей задачи, будучи школьником, прочитал задачу Дирака в книге книге Г.А. Гальперина и А.К. Толпыго "Московские математические олимпиады" (см. также статью Н. Малова "Задача Дирака") и задумался: а можно ли обойтись двумя двойками? Через 17 лет удалось выяснить, что достаточно и одной. Как часто бывает в математике, достаточно лишь поверить, что одной двойки хватает, и задача решается.
3. Ср. с задачей 116418.
