ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 115365
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны квадратные трёхчлены  x² + 2a1x + b1x² + 2a2x + b2x² + 2a3x + b3.  Известно, что  a1a2a3 = b1b2b3 > 1.
Докажите, что хотя бы один из этих трёхчленов имеет два корня.


Решение

Предположим противное; тогда дискриминанты всех трёхчленов неположительны, то есть      Левые (а значит, и правые) части этих неравенств неотрицательны, поэтому их можно перемножить:  (a1a2a3)² ≤ b1b2b3 = a1a2a3.  Но это противоречит неравенству  a1a2a3 > 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2009-2010
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .