Задача 115353

Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ] [ Доказательство от противного ] [ Монотонность и ограниченность ] [ Тригонометрические неравенства ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Богданов И.И.

Углы треугольника α, β, γ удовлетворяют неравенствам sin α > cos β, sin β > cos γ, sin γ > cos α . Докажите, что треугольник остроугольный.

Решение

Предположим противное; пусть для определённости γ 90^o . Тогда α + β 90^o , и углы α и β острые. Поэтому 0 < β 90^o - α < 90^o , откуда cos(β) cos(90^o - α) = sin(α) , что противоречит условию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2009-2010
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.4.11.5