Задача 115342

Темы:    [ Теорема синусов ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дана трапеция ABCD ( AB || CD ). Обозначим через R1 и R2 радиусы описанных окружностей треугольников ACD и BCD . Докажите, что AB2 4R1R2 .

Решение

Обозначим ADC = a , BCD = b . По теореме синусов

2R1 = , 2R2 = .
Перемножив почленно эти равенства, получим, что
4R1R2 = .
Пусть R3 и R4 — радиусы описанных окружностей треугольников ABD и ABC соответственно. Аналогично предыдущему докажем, что
4R3R4 = = .
Следовательно, 4R1R2=4R3R4 . Теперь достаточно доказать, что 4R3R4 AB2 . Заметим, что 2R4 AB , т.к. 2R4 — диаметр описанной окружности треугольника ABC , а AB — хорда этой же окружности. Аналогично 2R3 AB . Перемножая эти два неравенства, получим, что 4R3R4 AB2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6346