Задача 115323

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Даны непересекающиеся окружности S1 и S2 и их общие внешние касательные l1 и l2 . На l1 между точками касания отметили точку A , а на l2 — точки B и C так, что AB и AC — касательные к S1 и S2 . Пусть O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2 , а K — точка касания вневписанной окружности треугольника ABC со стороной BC . Докажите, что середина отрезка O1O2 равноудалена от точек A и K .

Решение

Пусть окружность S1 касается прямых l1 и l2 в точках соответственно A1 и B1 , а окружность S2 — в точках соответственно A2 и C1 , D — точка касания окружности S1 с отрезком AB , E — точка касания окружности S2 с отрезком AC . Тогда

A1A2=B1C1, AB+BK = AC+CK,

AB+BK = (AD+DB)+BK =(AA1+BB1)+BK= AA1+(BB1+BK) = AA1+B1K,

AC+CK = (AE+EC)+CK = (AA2+CC1)+CK= AA2+(CC1+CK) = AA2+KC1.
Отсюда
2(A1A+AA2) = 2A1A2 = A1A2+B1C1= (A1A+AA2)+(B1K+KC1) =

=(A1A+B1K)+ (AA2+KC1) =(A1A+B1K)+(A1A+B1K)= 2(A1A+B1K).
Поэтому AA2=B1K . Пусть P — середина O1O2 . Тогда перпендикуляр PM , опущенный из точки P на A1A2 , — средняя линия прямоугольной трапеции A1O1O2A2 . Следовательно, PM — серединный перпендикуляр к стороне A1A2 равнобедренной трапеции A1A2C1B1 , значит, P — центр описанной окружности этой трапеции. Поэтому PA1=PA2=PB1=PC1 . Равнобедренные треугольники PA1A2 и PB1C1 равны по трём сторонам, а т.к. AA2=B1K , то PA и PK — соответствующие отрезки этих равных треугольников. Следовательно, PA=PK . Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6327