Версия для печати
Убрать все задачи

---

Назовём точку на плоскости узлом, если обе её координаты целые числа. Дан треугольник с вершинами в узлах, внутри него расположено не меньше двух узлов. Докажите, что среди узлов внутри треугольника можно выбрать такие два узла, что проходящая через них прямая содержит одну из вершин треугольника или параллельна одной из сторон треугольника.

   Решение

---

На клетчатой бумаге начерчена замкнутая ломаная с вершинами в узлах сетки, все звенья которой равны.
Доказать, что число звеньев такой ломаной чётно.

   Решение

---

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?

   Решение

---

Дан прямоугольный биллиард размером 26×1965 (сторона длины 1965 направлена слева направо, а сторона длины 26 – сверху вниз; лузы расположены в вершинах прямоугольника). Из нижней левой лузы под углом 45° к бортам выпускается шар. Доказать, что после нескольких отражений от бортов он упадет в верхнюю левую лузу. (Угол падения равен углу отражения.)

   Решение

---

Можно ли нарисовать правильный треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки?

   Решение

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Геометрические неравенства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB, AC и BC треугольника ABC взяли точки K, L и M соответственно так, что  ∠A = ∠KLM = ∠C.
Докажите, что если  AL + LM + MB > CL + LK + KB,  то  LM < LK.

Решение

  ∠MLC = 180° – ∠KLM – ∠ALK = 180° – ∠A – ∠ALK = ∠AKL.
  Значит, треугольники CLM и AKL подобны по двум углам. Пусть коэффициент подобия равен k.
  По условию  AL + LM + BC – CM > CL + LK + AB – AK  ⇒  AL + AK – LK > CL + CM – LM = k(AK + AL – KL).

  Значит,  k < 1.  Следовательно,  LM = kKL < KL.

Источники и прецеденты использования