Задача 115294

Темы:    [ Геометрические неравенства ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник KLM , в котором KML=121^o . Точки S и N на стороне KL таковы, что KS=SN=NL . Известно, что MN>KS . Докажите, что MS<NL .

Решение

Предположим, что это не так, т.е. MS NL=KS . Тогда в треугольнике KMS против большей стороны MS лежит больший угол, т.е. MKS KMS . Поскольку MN>KS=NL , в треугольнике MNL против большей стороны MN лежит больший угол, т.е. MLN > NML . Следовательно,

KMS + NML< MKS + MLN = 180^o-121^o=59^o.
Поэтому
SMN=121^o-( KMS + NML)> 121^o-59^o=62^o.
В то же время, SMN — наименьший угол в треугольнике SMN , т.к. он лежит против наименьшей стороны SN ( MS NL=SN , MN>KS=SN ). Известно, что наименьший угол треугольника не больше 60^o , т.е. SMN 60^o . Таким образом, получено противоречие. Следовательно, MS<NL .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3400