Задача 115276

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точки A₁, B₁, C₁ – середины сторон соответственно BC, AC, AB треугольника ABC. Известно, что A₁A и B₁B – биссектрисы углов треугольника A₁B₁C₁. Найдите углы треугольника ABC.

Решение

  Как известно,  A₁B₁ || AB  и  A₁C₁ || AC.

  Первый способ. По свойству параллельных прямых   ∠BAA₁ = ∠AA₁B₁ = ∠AA₁C₁ = ∠A₁AC,  значит, медиана AA₁ треугольника ABC является его биссектрисой, поэтому  AB = AC.  Аналогично  AB = BC.  Следовательно, треугольник ABC – равносторонний.

  Второй способ. Четырёхугольник AB₁A₁C₁ – параллелограмм, в котором диагональ является биссектрисой угла, значит, AB₁A₁C₁ – ромб. Следовательно, A₁B₁ = A₁C₁.  Аналогично  A₁B₁ = B₁C₁.  Таким образом, треугольник A₁B₁C₁ – равносторонний. Следовательно, треугольник ABC – также равносторонний.

Ответ

60°, 60°, 60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2952