ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111906
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Биссектриса угла ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K, для которой  CK = BC.  Отрезок CK пересекает биссектрису AL в её середине.
Найдите углы треугольника ABC.


Решение

  Пусть  ∠A = 2α,  а O – точка пересечения отрезков CK и AL (см. рис.). Тогда CO – медиана к гипотенузе прямоугольного треугольника ACL. Значит,
AO = OC = OL,  а  ∠OCA = ∠OAC = ∠OAK = α.


  Так как треугольник CBK равнобедренный,  ∠B = ∠BKC = ∠ACK + ∠KAC = 3α.
  Отсюда  2α + 3α = ∠A + ∠B = 90°.  Значит,  α = 18°.  Соответственно,  ∠B = 3·18° = 54°,  а  ∠A = 2·18° = 36°.


Ответ

36°, 54°, 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 72
Год 2009
Класс
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .