ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111905
Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ]
[ Ребусы ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске написано:
    В этом предложении ... процентов цифр делятся на 2, ... процентов цифр делятся на 3, а ... процентов цифр делятся и на 2 и на 3.
Вставьте вместо многоточий какие-нибудь целые числа так, чтобы написанное на доске утверждение стало верным.


Ответ

"В этом предложении 70% цифр делятся на 2, 60& цифр делятся на 3, а 40% цифр делятся и на 2 и на 3"
или
"В этом предложении 80% цифр делятся на 2, 60% цифр делятся на 3, а 40% цифр делятся и на 2 и на 3".

Замечания

  1. Можно показать, что других решений задача не имеет.

  2. Объясним, как можно было такой ответ искать. Всего в обсуждаемом предложении не более 3·2 + 4 = 10 цифр. Поэтому каждое пропущенное число двузначно. То есть всего цифр в предложении ровно десять, а значит, все пропущенные числа заканчиваются на 0. Следовательно, в предложении содержатся три нуля. Каждый из этих трёх нулей делится и на 2, и на 3, поэтому все пропущенные числа не меньше 30. Учитывая, что в предложении уже имеются две двойки и две тройки, получаем, что первые два числа лежат между 50 и 80, а третье – между 30 и 60.
  Дальше уже не так сложно найти ответ перебором. Но можно воспользоваться методом последовательных исправлений. Начнём с утверждения
    В этом предложении 50% цифр делятся на 2, 50% цифр делятся на 3, а 30% цифр делятся и на 2 и на 3.
  Оно неверно, так как цифр, делящихся на 3, в нём не 50%, а 60%. Внесём это исправление. Получается (снова неверное) утверждение
    В этом предложении 50% цифр делятся на 2, 60% цифр делятся на 3, а 30% цифр делятся и на 2 и на 3.
  После следующего исправления имеем
    В этом предложении 60% цифр делятся на 2, 70% цифр делятся на 3, а 40% цифр делятся и на 2 и на 3.
  Наконец, ещё одно исправление даёт верный ответ:
    В этом предложении 80% цифр делятся на 2, 60% цифр делятся на 3, а 40% цифр делятся и на 2 и на 3.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 72
Год 2009
Класс
Класс 8
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .