ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111865
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Числа от 51 до 150 расставлены в таблицу 10×10. Может ли случиться, что для каждой пары чисел a, b, стоящих в соседних по стороне клетках, хотя бы одно из уравнений  x² – ax + b = 0  и  x² – bx + a = 0  имеет два целых корня?


Решение

  Предположим, что такое возможно. Пусть a – простое число,  77 < a ≤ 150,  а b – число, стоящее в соседней по стороне клетке. Если уравнение
x² – bx + a = 0  имеет два целых корня, то их произведение равно a, а сумма равна  b > 0.  Значит, эти корни равны 1 и a, и  b = 1 + a.  Если же уравнение  x² – ax + b = 0  имеет два целых корня x1 и x2, то  x1 + x2 = ax1x2 = b.  Пусть  x2x1 ≥ 2.  Так как функция  t(a – t)  возрастает при  t ≤ a/2,  то  b = x1(a – x1) ≥ 2(a – 2) > 150,  что невозможно. Значит, и в этом случае один из корней равен 1, и  b = 1·(a – 1) = a – 1.  Итак, для таких простых значений a возможны лишь два варианта числа, стоящего в соседней клетке:  b = a – 1  и  b = a + 1.
  Далее можно рассуждать по разному.

  Первый способ. У всех клеток с такими простыми числами только две соседних, значит, все они – угловые. Однако между 77 и 150 находится более четырёх простых чисел (79, 83, 89, 97, 101, ...). Противоречие.

  Второй способ. Простые числа 101 и 103 должны стоять в углах, и их соседями должны являться 100, 102 и 102, 104. Но клетка с числом 102 не может быть соседней с двумя угловыми. Противоречие.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 08.5.11.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .