|
|
 |
Условие
Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.
Решение
Пример. Пусть набор состоит из 20 гирь массой 50 г и 30 гирь массой 40 г. В этом случае Петя может разделить все гири на десять групп, в каждой из которых две гири массой 50 г и три гири массой 40 г; а Вася может разделить все гири на пять групп, в каждой из которых четыре гири массой
50 г, и шесть групп, в каждой из которых пять гирь 40 г. Таким образом, значение N = 50 возможно.
Оценка. Предположим, что N < 50, и Пете с Васей удалось разложить гири на группы нужным образом. Тогда в одной из петиных групп не более четырёх гирь, и в одной из васиных групп также не более четырёх гирь.
Лемма. Пусть имеются две группы гирь равной суммарной массы, состоящие из k и l гирь, где k < l. Тогда k ≥ 4, причём в случае k = 4 имеем
l = 5, и в каждой из групп массы гирь равны.
Доказательство. Пусть m – масса самой легкой гири в группе из l гирь, тогда масса второй группы не меньше lm ≥ (k + 1)m, а масса первой группы не больше 1,25km, откуда k + 1 ≤ 1,25k и k ≥ 4. Если k = 4, то в указанных выше оценках неравенства обращаются в равенства, поэтому
l = k + 1 = 5, в группе из пяти гирь все гири одинаковой массы m = 4x, а в группе из четырёх гирь все гири массой 5x.
Рассмотрим два случая.
1) Среди петиных групп есть две группы с разным количеством гирь. Тогда из леммы следует, что в нескольких петиных группах по четыре гири массы 5x, а в остальных петиных группах по пять гирь массы 4x. Общий вес всех гирь тогда равен 200x, что невозможно, так как 200 не делится на 11, а суммарная масса в каждой васиной группе должна быть целым кратным x.
2) В десяти петиных группах равное число гирь. Тогда N кратно 10. Если среди васиных групп найдутся две группы с разным количеством гирь, то из леммы следует, что в каждой из васиных групп не менее четырёх гирь, откуда N ≤ 44 ⇒ N ≥ 50 (так как N кратно 10). Противоречие.
Если же в 11 васиных группах равное число гирь, то N кратно 11 ⇒ N кратно 110 ⇒ N ≥ 110. Противоречие.
