ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111856
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для натурального  n > 3  будем обозначать через n? (n-вопросиал) произведение всех простых чисел, меньших n. Решите уравнение  n? = 2n + 16.


Решение

  Имеем  n? – 32 = 2(n – 8).
  Так как n? не делится на 4, то  n – 8  нечётно. Пусть  n > 9,  тогда  n – 8  имеет нечётный простой делитель p. Так как  p < n,  то n? делится на p. Значит, 32 делится на p, что невозможно.
  Мы получили, что  n ≤ 9  и нечётно. При  n = 9  имеем  n? = 210 > 2·9 + 16.  Число n = 7  – корень нашего уравнения, а при  n = 5  имеем  n? = 6 < 16.


Ответ

n = 7.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 8
задача
Номер 07.5.8.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .