ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111853
Темы:    [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Кооперативные алгоритмы ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Фокусник Арутюн и его помощник Амаяк собираются показать следующий фокус. На доске нарисована окружность. Зрители отмечают на ней 2007 различных точек, затем помощник фокусника стирает одну из них. После этого фокусник впервые входит в комнату, смотрит на рисунок и отмечает полуокружность, на которой лежала стертая точка. Как фокуснику договориться с помощником, чтобы фокус гарантированно удался?

Решение



Приведем один из возможных вариантов договоренности.
Рассмотрим 2007 дуг, на которые разбили окружность отмеченные точки. Пусть AB – наибольшая из них (если их несколько, то возьмем любую), и пусть эта дуга лежит по часовой стрелке от точки A (и против часовой– от точки B ). Тогда помощник должен стереть точку A .
Покажем, что фокусник сможет указать полуокружность, на которой находилась стертая точка. Войдя в комнату, он увидит окружность, разбитую на 2006 дуг. Ясно, что стертая точка будет находиться на наибольшей из дуг (она уже единственна, так как наибольшая дуга после стирания ее конца увеличилась). Более того, если сейчас наибольшая дуга– CB (и она находится по часовой стрелке от C ), то AB CA (см. рис.). Поэтому, если X – середина CB , то A лежит на CX . Поэтому фокусник может выделить полуокружность, находящуюся по часовой стрелке от C (она содержит CX ).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 8
задача
Номер 07.5.8.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .