|
|
 |
Условие
Дан квадратный трёхчлен f(x) = x² + ax + b. Известно, что для любого вещественного x существует такое вещественное y, что f(y) = f(x) + y. Найдите наибольшее возможное значение a.
Решение
Из условия следует, что квадратное уравнение f(y) – y – f(x) = 0 разрешимо относительно y при любом x. Подставив x = – a/2, получаем уравнение
y² + (a – 1)y + a²/4, дискриминант которого равен (a – 1)² – a² = 1 – 2a, откуда a ≤ ½. С другой стороны, если a = ½, то при любом x можно положить y = – x: тогда f(y) = x² – ½ x + b = (x² + ½ x + b) – x = f(x) + y, что и требовалось.
Ответ
a = ½.
Замечания
1. Также подходит y = x + ½.
2. Нетрудно проверить, что при x = – a/2 достигается минимум дискриминанта трёхчлена f(y) – y – f(x). Поэтому, если при x = – a/2 он неотрицателен, то он неотрицателен всегда.
