ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111814
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дано натуральное число  n > 1.  Для каждого делителя d числа  n + 1,  Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.


Решение

Рассмотрим произвольный делитель d числа  n + 1;  пусть  n + 1 = df.  Тогда  n = (n + 1) – 1 = (f – 1)d + (d – 1),  где  0 ≤ d – 1 < d,  то есть числа  f – 1  и
d – 1  являются неполным частным и остатком при делении n на d. Значит, на доске будут выписаны все числа вида  d – 1,  а в тетради – все числа вида  n+1/d – 1,  где d – делитель  n + 1.  Но, когда d пробегает все делители числа  n + 1,  то число  n+1/d  также пробегает все его делители; поэтому и на доске, и в тетради будут выписаны все делители  n + 1,  уменьшенные на 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2008
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 08.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .