ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111708
Темы:    [ Треугольники с углами 60╟ и 120╟ ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один из его углов равен 60°.


Решение

  Треугольник можно разрезать на три треугольника либо соединив внутреннюю точку с вершинами, либо сначала разрезав его на два прямой, проходящей через вершину, а затем так же разрезав один из полученных треугольников. В первом случае треугольники могут оказаться равными, только если исходный треугольник правильный. Во втором один из треугольников, полученных при первом разрезании должен быть равнобедренным, а второй – прямоугольным, равным "половине" первого. Отрезать же от исходного треугольника прямоугольный можно только одним из следующих трёх способов.
  1) Проведём в исходном треугольнике высоту. Но тогда второй треугольник тоже будет прямоугольным и первый не может быть равен его половине.
  2) Проведём в тупоугольном треугольнике ABC через вершину тупого угла C прямую CD, перпендикулярную BC. Тогда, так как площадь треугольника BCD равна половине площади треугольника ACD, должны выполняться равенства  AD = CD = 2BD,  что невозможно, поскольку BD – гипотенуза треугольника BCD.
  3) Проведём в треугольнике с прямым углом C прямую BD. Тогда аналогично предыдущему случаю получаем, что  AD = BD = 2CD,  и, значит,
B = 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2008
тур
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .