Задача 111654

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, AD выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O.
Докажите, что   S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM.

Решение

Отрезок OK – медиана треугольника AOB, поэтому  S_AOK = S_BOK.   Аналогично  S_AON = S_DON,  S_COL = S_BOL,  S_COM = S_DOM.  Следовательно,
S_AKON + S_CLOM = (S_AOK + S_AON) + (S_COL + S_COM) = (S_BOK + S_DON) + (S_BOL + S_DOM) = (S_BOK + S_BOL) + (S_DOM + S_DON) = S_BKOL + S_DNOM.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2901
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	4
Название	Площади частей, на которые разбит четырехугольник
Тема	Площадь четырехугольника
задача
Номер	04.018