Задача 111642
|
|
 |
Условие
Нарисуйте многоугольник и точку на его границе так, что любая прямая, проходящая через эту точку, делит площадь этого многоугольника пополам.Решение
Пусть нужная нам точка на границе многоугольника — O . Построим сам многоугольник.Разделим плоскость на 4 прямых угла с вершинами в точке O .
Построим равнобедренный прямоугольный треугольник AOB с вершиной в точке O и катетами, лежащими на сторонах одного из прямых углов.
Построим равнобокую трапецию DEFG с боковыми сторонами DE=FG , лежащими на сторонах соседнего прямого угла, так, что OD=OG и площадь трапеции равна площади треугольника AOB .
Из условия равенства площадей
При этом D нужно выбрать в пределах отрезка OB ближе к точке D .
Аналогичным образом построим трапеции IJKL и MNPQ . Отрезки OA и QP при этом не должны пересекаться, что можно обеспечить соответствующим выбором расположений трапеций. На приведённом рисунке OA=OB=5 , OE=OF=6 , OJ=OK=7 и ON=OP=8 , в том, что OA и QP не пересекаются, а остальные соседние боковые стороны треугольника и трапеций, наоборот, частично совпадают, можно убедиться с помощью непосредственных вычислений.
Полученный многоугольник OABEFJKNPQMLIGD и точка O на его границе удовлетворяет условию задачи.
Покажем, что прямая XZ делит площадь нашего многоугольника на равные части. Площади трапеций DEFG и MNPQ , расположенных по разные стороны прямой XZ , равны по построению.
Эта прямая также делит в одинаковом соотношении площади треугольника OAB и трапеции IJKL (а поскольку площади этих фигур равны по построению, прямая делит каждую из них на части, площади которых соответственно равны площадям частей другой фигуры).
В самом деле, треугольники OAB и OJK подобны; кроме того, они равнобедренны, а прямая XZ проходит через вершину каждого из этих треугольников, образуя одинаковые углы с одной из боковых сторон, и, следовательно, делит их площади в одинаковом отношении. То же верно про треугольники OAB и OIL , поэтому прямая XZ делит их площади в том же отношении. Ну а площади частей трапеции IJKL равны разностям площадей соответствующих частей треугольников OJK и OIL .
Итак, мы видим, что по разные стороны от прямой XZ оказались части многоугольника соответственно равных площадей, поэтому суммарные площади также равны — прямая действительно делит площадь многоугольника пополам.
В случае, если прямая пересекает трапеции DEFG и MNPQ , доказательство строится аналогично. Случаи вертикального и горизонтального расположения секущей прямой являются тривиальными.
Как до такого решения можно догадаться? Фактически мы придумали два независимых решения, каждое — для своих двух вертикальных углов координатной плоскости. Причём одно из решений выбрали таким, чтобы нужная по условию задачи точка как раз была на его границе. А затем просто "подогнали края" — так, чтобы решения "цеплялись друг за друга" во всех местах, кроме одного.
