Задача 111635

Темы:    [ Площадь четырехугольника ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R ; ϕ – угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырёхугольника ABCD равна 2R2 sin A sin B sin ϕ .

Решение

Известно, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, значит, S = BD· AC sin ϕ . По теореме синусов находим, что

BD = 2R sin BAD, AC = 2R sin ABC.
Следовательно,
S = BD· AC sin ϕ= · 2R sin BAD· 2R sin ABC sin ϕ= 2R2 sin BAD sin ABC sin ϕ.
Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4180