Задача 111614

Темы:    [ Свойства сечений ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Нижним основанием четырёхугольной усечённой пирамиды является ромб ABCD , у которого AB=4 и BAD=60^o . AA1 , BB1 , CC1 , DD1 – боковые рёбра усечённой пирамиды, ребро A1B1=2 , ребро CC1 перпендикулярно плоскости основания и равно 2. На ребре BC взята точка M так, что BM=3 , и через точки B1 , M и центр ромба ABCD проведена плоскость. Найдите двугранный угол между этой плоскостью и плоскостью AA1C1C .

Решение

Пусть O – центр ромба ABCD . Из треугольника OMB находим, что

OM = = = .
Построим прямую пересечения плоскостей AA1C1C и B1MO . Для этого продолжим отрезки C1C и B1M до пересечения в точке E . Каждая из точек O и E лежит и плоскости AA1C1C , и в плоскости B1MO , значит, OE – прямая пересечения этих плоскостей. Построим линейный угол двугранного угла между этими плоскостями. Для этого из точки C1 опустим перпендикуляр C1K на ребро OE этого двугранного угла, а из точки K восставим перпендикуляр к OE в плоскости B1MO . Пусть этот перпендикуляр пересекается с прямой B1E в точке L . Тогда C1KL – искомый линейный угол угол. Обозначим C1KL=γ . Для его нахождения вычислим все стороны треугольника C1KL . Поскольку MC = 1 = B1C1 и MC || B1C1 , отрезок MC – средняя линия треугольника B1C1E , поэтому C – середина отрезка EC1 , а т.к. OC EC1 , то медиана OC треугольника EOC1 является его высотой. Значит, треугольник EOC1 – равнобедренный. Кроме того, из прямоугольного треугольника COC1 находим, что
OC1= = = = 4 = EC1,
поэтому треугольник EOC1 – равносторонний. Тогда его высота C1K равна высоте OC1 , т.е. C1K= = 2 . В треугольнике OME известно, что
ME = = =, OE=4, OM=.
Обозначим OEM=ϕ . Тогда
cos ϕ = = = , tg ϕ = = .
Из прямоугольного треугольника LKE находим, что
KL = KE tg ϕ = OE tg ϕ = 2· = , LE = = = .
Рассмотрим грань BB1C1C . Обозначим B1EC1 = β . Тогда
tg β = = , cos β = = .
По теореме косинусов
LC1 = = .
Следовательно,
cos γ = = = .

Ответ

arccos = arctg .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8990