Задача 111601

Темы:    [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Диаметр, хорды и секущие ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что угол MOK равен половине угла BLD.

Решение

  Равные хорды равноудалены от центра окружности, поэтому точка O равноудалена от сторон угла AMQ, то есть лежит на биссектрисе этого угла. Аналогично точка O лежит на биссектрисе угла DKP. Пусть  ∠OKM = ∠OKD = α,  ∠OMK = ∠OMA = β.  Тогда  ∠MKL = 180° – 2α,  ∠KML = 180° – 2β. 
  По теореме о внешнем угле тругольника  ∠BLD = ∠MKL + ∠KML = 360° – 2α – 2β = 2(180° – α – β) = 2∠MOK.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4696