Задача 111594

Темы:    [ Касающиеся сферы ] [ Сфера, вписанная в двугранный угол ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Две равные сферы S1 и S2 касаются друг друга, и, кроме того, каждая сфера касается обеих граней P и Q прямого двугранного угла. Сфера S1 касается грани P в точке A . Через эту точку проведена прямая, пересекающая сферу S1 в точке B , касающаяся сферы S2 в точке C и пересекающая грань Q в точке D . Прямая AD составляет с гранью P угол 30^o . Найдите отношение AB:BC:CD .

Решение

Пусть O1 и O2 – центры сфер S1 и S2 соответственно, R – радиусы сфер, E – точка касания сферы S2 с плоскостью P , F – проекция точки C на грань P , G – проекция точки A на ребро данного двугранного угла. Из точки A проведены касательные AC и AE к сфере S2 , поэтому AC=AE = 2R , а т.к. CAF = 30^o , то CF = AC = R . Отрезки O1A и CF равны R и параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости грани P , поэтому AFCO1 – прямоугольник, значит,

O1AB = 90^o- CAF = 90^o-30^o = 60^o.
В треугольнике AO1B известно, что O1A=O1B = R и BAO1 = 60^o , значит, этот треугольник равносторонний, поэтому AB=R . Следовательно, BC = AC-AB = 2R-R =R , а AB:BC=1:1 . Плоскость прямоугольника AO1O2E параллельна плоскости грани Q , поэтому прямая AD образует с плоскостью прямоугольника AO1O2E тот же угол α , что и с плоскостью грани Q . Отрезки O2E и CF равны R и параллельны, т.к. они перпендикулярны одной и той же плоскости грани P , поэтому CFEO2 – прямоугольник (даже квадрат), значит, O2C CF , а т.к. O2C – радиус сферы S2 , проведённый в точку касания этой сферы с прямой AC , то O2C AC . Таким образом, прямая O2C перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости прямоугольника AO1CF , значит, прямая O2C перпендикулярна этой плоскости, в частности, O2C O1C , и треугольник O1CO2 – прямоугольный. Пусть CH – высота этого треугольника. Тогда CH O1O2 и CH CF (т.к. CF – боковое ребро прямой призмы AFEO1O2C с основаниями AFE и O1O2C ), значит, CH – перпендикуляр к плоскости AO1O2E , поэтому AH – проекция наклонной AC на плоскость AO1O2E . Следовательно, CAH = α . Из прямоугольных треугольников AO1C , O1CO2 , CAH и ADG находим, что
O1C = AC cos 30^o = R, CH = ==,

sin α = = = , AD = = = = .
Тогда
CD = AD-AC = -2R = = .
Следовательно, AB:BC:CD = 1:1: .

Ответ

1:1: .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	9040