Задача 111564

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Средняя линия трапеции ] [ Площадь трапеции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Диагонали трапеции равны 6 и 8, а средняя линия равна 5. Найдите площадь трапеции.

Решение

Пусть h – высота трапеции ABCD с основаниями AD и BC и диагоналями AC=6 и BD=8 , l – средняя линия трапеции. Через вершину C проведём прямую параллельно диагонали BD до пересечения с продолжением основания AD в точке M . Тогда четырёхугольник BCMD – параллелограмм, поэтому

CM=BD=8, DM=BC, AM=AD+DM = AD+BC = 2l = 10.
Значит, треугольник ACM – прямоугольный ( AM2=AC2+CM2 ). Его площадь равна половине произведения катетов, т.е.
S_{Δ ACM} = AC· CM = · 6· 8 = 24.
Следовательно,
S_ABCD = lh = (AD+BC)h = (AD+DM)· h=

=(AD+BC)· h = AM· h = S_{Δ ACM}=24.

Ответ

24.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4669